Die Methodik der Wiederherstellung der Potenz

Eine Zahl in die 0. und 1. Potenz erheben

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Eine Potenz von lat. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt zu sich selbst addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man Die Methodik der Wiederherstellung der Potenz.

Bei negativer Basis und geradzahligem Exponenten ist die Potenz positiv:. Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation Division durchführen soll. Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Zum Beispiel gilt:. Diese Definition ist korrekt, d. Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:.

Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:. Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert. Im Unterschied dazu sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationalen Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben.

Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu. Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten lassen sich im Bereich der komplexen Zahlen definieren, sind allerdings nicht reellwertig. Zehnerpotenzen werden in der elektronischen Datenverarbeitung oder in der Anzeige auf Taschenrechnern häufig mit e oder E dargestellt.

Häufig anzutreffende Darstellung für z. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr Vorzeichen. Für ganzzahlige Exponenten kann man Potenzen mit komplexen Basen wie im reellen Fall definieren.

Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe. Mithilfe von Operationen mit Reihen beweist man danach, dass. Daraus folgt die Formel. Ganzzahlige Potenzen von 10 Zehnerpotenzen bilden die Grundlage unseres Zahlensystemsdes Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z. Zweierpotenzen ergeben Die Methodik der Wiederherstellung der Potenz durch wiederholte Verdoppelung.

Das überraschend schnelle Anwachsen der Zahlen macht Zweierpotenzen für Praxisbeispiele beliebt:. Bei SchneeballsystemenDie Methodik der Wiederherstellung der Potenz Beispiel sogenannten Schenkkreisenwerden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern zum Beispiel eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen.

Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren. Eine oft von den Initiatoren suggerierte Stabilität der Schneeballsysteme kann nicht bestehen.

Sie sind daher aus gutem Grunde in vielen Ländern verboten. Bis Anfang des Donald E. Die natürlichen Zahlen werden in der Mengenlehre rekursiv wie folgt definiert siehe von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen :. Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe. Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren.

Die Rechenregeln gelten analog. Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. Die Exponentenschreibweise kann insbesondere bei Funktionen verschiedene Bedeutungen haben, je nachdem, ob die Schreibweise die Iteration der Verkettung oder der punktweisen Multiplikation wiedergeben soll.

Darüber hinaus könnte auch ein oberer Index gemeint sein. In der Regel geht aus dem Kontext hervor, was gerade gemeint ist. Die Potenzschreibweise wird oft als abkürzende Schreibweise für die Verkettung von Funktionen, deren Werte wieder im Definitionsbereich liegen, verwendet, zum Beispiel für Iterationen in dynamischen Systemen. Dies ist nicht mit Die Methodik der Wiederherstellung der Potenz oben vorgestellten Schreibweise für die Verkettung von Funktionen verträglich.

Gleiches gilt für Polynome. Da die Unbestimmte als Polynomfunktion die identische Abbildung ist, wäre die Potenzschreibweise als Iteration von Funktionen hier Die Methodik der Wiederherstellung der Potenz sinnvoll.

Deshalb benutzen viele Programmiersprachen alternative Wege, um eine Potenz darzustellen:. In vielen Programmiersprachen gibt es statt eines Potenzoperators eine entsprechende Bibliotheksfunktion, beispielsweise pow x,y in CMath. Pow x,y in C-Sharp. Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Welche Analysis-Lehrbücher lassen 0 0 undefiniert und warum?

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